Một hệ xác định tổng quát có thể được mô tả bởi một toán tử, H {\displaystyle H} , ánh xạ một đầu vào, x ( t ) {\displaystyle x(t)} , là một hàm của  t {\displaystyle t}  tối một đầu ra, y ( t ) {\displaystyle y(t)} , một loại mô tả hộp đen. Các hệ thống tuyến tính thỏa mãn tính chất chồng chập. Với hai đầu vào hợp lệ

x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)\,} x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)\,}

Cũng như các đầu ra tương ứng

y 1 ( t ) = H { x 1 ( t ) } {\displaystyle y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}} y 2 ( t ) = H { x 2 ( t ) } {\displaystyle y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}}

Thì một hệ thống tuyến tính phải thỏa mãn

α y 1 ( t ) + β y 2 ( t ) = H { α x 1 ( t ) + β x 2 ( t ) } {\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}

α {\displaystyle \alpha \,}  và  β {\displaystyle \beta \,} .

Do đó hệ thống này được xác định bởi phương trình H ( x ( t ) ) = y ( t ) {\displaystyle H(x(t))=y(t)} , trong đó  y ( t ) {\displaystyle y(t)} Là một số hàm tùy ý của thời gian, và x ( t ) {\displaystyle x(t)}  là trạng thái của hệ thống. Hàm  y ( t ) {\displaystyle y(t)}  và  H {\displaystyle H} , x ( t ) {\displaystyle x(t)}  đã cho có thể được giải. Ví dụ, một bộ dao động sóng hài đơn giản tuân theo phương trình vi phân:

m d 2 ( x ) d t 2 = − k x {\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx} .

Nếu

H ( x ( t ) ) = m d 2 ( x ( t ) ) d t 2 + k x ( t ) {\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t)} ,

thì  H {\displaystyle H}  là một toán tử tuyến tính. Cho  y ( t ) = 0 {\displaystyle y(t)=0} , chúng ta có thể viết lại phương trình vi phân này như sau  H ( x ( t ) ) = y ( t ) {\displaystyle H(x(t))=y(t)} , cho thấy rằng một bộ dao động sóng hài đơn giản là một hệ thống tuyến tính.

Hành vi của hệ thống thu được phải chịu một đầu vào phức tạp có thể được mô tả như là một tổng của các phản hồi đối với đầu vào đơn giản hơn. Trong các hệ thống phi tuyến, không có mối quan hệ như vậy. Tính chất toán học này làm cho lời giải của các phương trình mô hình hóa đơn giản hơn so với nhiều hệ thống phi tuyến. Đối với các hệ thống thời gian bất biến, đây là cơ sở của các phương pháp đáp ứng xung hoặc đáp ứng tần số (xem lý thuyết hệ thống LTI), trong đó miêu tả một hàm đầu vào tổng quát  x ( t ) {\displaystyle x(t)}  theo các thành phần xung đơn vị hoặc tần số.

Các phương trình vi phân điển hình của các hệ thống thời gian bất biến tuyến tính là tương thích tốt với phân tích sử dụng phép biến đổi Laplace trong trường hợp liên tục, và biến đổi Z trong trường hợp rời rạc (đặc biệt là trong các thực thi máy tính).

Một góc nhìn khác là các giải pháp cho các hệ thống tuyến tính bao gồm một hệ thống các hàm có vai trò như các vectơ trong hình học.

Một ứng dụng phổ biến của các mô hình tuyến tính là mô tả một hệ thống phi tuyến bằng cách tuyến tính hóa. Điều này thường được thực hiện bởi vì sự thuận tiện về mặt toán học.